POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Potenciación de los Números Racionales

La operación de la Potenciación no se limita únicamente a los números naturales, sino que también puede aplicarse a los números racionales, situación en la cual cada uno de los elementos de la fracción (numerador y denominador) es elevado a sí mismo el número de veces que el exponente señala, es decir, que en el caso de los números racionales, la fracción en su totalidad es considerada la base de la potencia, aun cuando cada elemento de la fracción también puede contar con exponentes independientes y diferentes entre si. Un ejemplo de cómo resolver una potencia de números racionales es el siguiente:  

Propiedades, Potenciación de números racionales

Así mismo, dentro de las operaciones de números racionales se distinguen distintas propiedades, por medio de las cuales se rigen estos procesos matemáticos. En este sentido, se distinguen las siguientes:

Potencia de cero

Es la propiedad que se aplica en el caso de que una fracción se convierta en base de un exponente cero. En este caso, la Propiedad Potencia Cero indica que el total será siempre y en todo caso 1.

 De esta forma, toda fracción elevada a cero será uno. Por ejemplo:

Potencia de 1

También puede ocurrir que la fracción que sirve como base de una operación de potenciación sea elevada a un exponente 1. En este caso, el resultado coincidirá, tanto en su denominador como en su denominador, con cada elemento de la base. Por ejemplo:

Productos de potencias

En el caso en donde se plantee una operación de multiplicación donde los números involucrados sean fracciones con exponentes, se deberá tener en cuenta las siguientes particularidades:

§  Si las potencias son de igual base: dada la operación en donde las potencias coincidan, es decir que se trata de fracciones que coincidan, tanto en su numerador y denominador, se procede entonces a considerar que existe una sola base, se suman los exponentes, y el resultado se toma como el exponente final al que se elevará cada uno de los elementos de la fracción, tal como se ejemplifica a continuación:

§  Si la potencia tiene igual exponente: también puede ocurrir que sean los exponentes de las potencias los que coincidan. En este caso, se toma como un solo exponente, para las potencias sometidas a la multiplicación. Seguidamente, se multiplican de forma correspondiente los numeradores y denominadores, y los totales son elevados a la potencia que indica el exponente, así como se expone en el siguiente ejemplo:

Cociente de potencias

Así mismo, entre las distintas potencias de números racionales puede plantearse la operación de división, en cuyo caso pueden presentarse también distintos casos particulares, tal como se expresa a continuación:

§  Si las potencias tienen igual base: En caso por ejemplo de que las potencias involucradas cuenten con fracciones idénticas, es decir, que la potencia tenga igual base, se procederá entonces a restar entre sí los exponentes, obteniendo un total, al que serán elevados el numerador y el denominador de la fracción, la cual se tomará como igual entre los dos términos en los que se planteaba la división, tal como se ejemplifica en el siguiente caso:

§  Si las potencias tienen igual exponente: Por el contrario puede ocurrir que quienes coincidan sean los exponentes de las potencias de números racionales, sometidos a operaciones de división. En ese caso, se toman los distintos exponentes como uno solo, elevando posteriormente a esa potencia los resultados correspondientes a la división de fracciones (las bases), lo cual se hará cónsono a las Leyes matemáticas en este sentido. Un ejemplo de esto puede ser la siguiente operación:

Potencia de una potencia

Finalmente, otro de los casos o propiedades que pueden darse en el caso de la potenciación de números racionales es cuando la potencia (tanto base como exponente) es elevada a su vez a un exponente. En este caso, las Matemáticas indican que deberá obtenerse el total del producto entre los dos exponentes, al cual será elevado finalmente cada uno de los elementos de la fracción. Un ejemplo de este caso puede ser el que se ofrece a continuación:

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